Funkcja kwadratowa na maturze: krok po kroku

1. Trzy postacie funkcji kwadratowej: kiedy stosować każdą z nich?

Na maturze z matematyki (zarówno podstawowej, jak i rozszerzonej) kluczem do szybkiego rozwiązywania zadań jest błyskawiczny dobór odpowiedniej postaci funkcji kwadratowej:

2. Wyróżnik $\Delta$, miejsca zerowe i nierówności kwadratowe

Wyróżnik $\Delta = b^2 - 4ac$ określa liczbę punktów wspólnych wykresu z osią $OX$:

• $\Delta > 0$: Dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.
• $\Delta = 0$: Jeden pierwiastek podwójny $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
• $\Delta < 0$: Brak pierwiastków rzeczywistych (parabola w całości leży nad lub pod osią $OX$).

3. Wierzchołek paraboli i wyznaczanie wartości min/max

W zadaniach zamkniętych i otwartych CKE często pyta o wartość najmniejszą lub największą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym $\langle \alpha, \beta \rangle$:

1. Oblicz $p = -\frac{b}{2a}$.
2. Sprawdź, czy $p \in \langle \alpha, \beta \rangle$:
   • Jeśli TAK: oblicz $f(p) = q$ oraz wartości na krańcach $f(\alpha)$ i $f(\beta)$. Porównaj te 3 liczby.
   • Jeśli NIE: wierzchołek leży poza przedziałem — liczysz tylko wartości na krańcach $f(\alpha)$ i $f(\beta)$.

4. Wzory Viète’a: kiedy naprawdę oszczędzają czas?

Wzory Viète'a dla równania $ax^2 + bx + c = 0$ przy $\Delta \ge 0$:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Na poziomie rozszerzonym kluczem jest przekształcanie warunków złożonych do sumy i iloczynu pierwiastków:

• Suma kwadratów: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$
• Suma sześcianów: $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)[(x_1 + x_2)^2 - 3x_1 x_2]$
• Suma odwrotności: $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}$
• Różne znaki pierwiastków: $x_1 x_2 < 0$
• Dwa pierwiastki ujemne: $\Delta > 0 \land x_1 x_2 > 0 \land x_1 + x_2 < 0$

5. Zadania optymalizacyjne z treścią (4–6 pkt CKE)

Zadanie optymalizacyjne na maturze podstawowej zawsze sprowadza się do zbudowania trójmianu kwadratowego i wyznaczenia wierzchołka $p = x_W$.

Przykład: Ogrodzenie prostokątnego wybiegu przylegającego do ściany budynku o łącznej długości siatki 120 m. Wyznacz wymiary dające największe pole.

• Zależność: $x + 2y = 120 \implies x = 120 - 2y$.
• Dziedzina geometryczna: $y > 0 \land 120 - 2y > 0 \implies y \in (0, 60)$.
• Funkcja pola: $P(y) = y(120 - 2y) = -2y^2 + 120y$.
• Maksimum w wierzchołku: $y_W = \frac{-120}{2(-2)} = 30\text{ m} \in (0, 60)$.
• Wymiary: $y = 30\text{ m}, \quad x = 120 - 2(30) = 60\text{ m}$. Maksymalne pole: $P = 1800\text{ m}^2$.

6. Typowe pułapki CKE przy funkcji kwadratowej

7. Sprawdź swoją wiedzę i przećwicz arkusze CKE