Logarytmy na maturze z matematyki: wzory, zadania i typowe błędy

Co CKE sprawdza z logarytmów

Zgodnie z wymaganiami z Informatora CKE zdający na poziomie podstawowym stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem i posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi. Na poziomie rozszerzonym dochodzi wzór na zamianę podstawy logarytmu. Logarytmy pojawiają się także pośrednio: w równaniach, w nierównościach i w funkcjach wykładniczych.

Które wzory są na karcie CKE

Oficjalna karta „Wybrane wzory matematyczne” ma osobny dział o logarytmach. Znajdziesz tam definicję oraz wzory, które wystarczą do wszystkich zadań z tego tematu:

• definicja: $\log_a b = c \iff a^c = b$ (przy $a>0$, $a\neq 1$, $b>0$),
• iloczyn: $\log_a (x\cdot y) = \log_a x + \log_a y$,
• iloraz: $\log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$,
• potęga: $\log_a x^r = r\cdot\log_a x$,
• zamiana podstawy: $\log_b c = \dfrac{\log_a c}{\log_a b}$.

Skoro wzory masz przed sobą, w zadaniu liczy się coś innego: wiedzieć, który wzór wybrać i kiedy go wolno użyć. Wzory na iloczyn i iloraz działają tylko dla liczb dodatnich. To założenie jest źródłem większości straconych punktów.

Zadanie 1. Wartość wyrażenia (poziom podstawowy)

Oblicz $\log_2 24 - \log_2 3$.

Odejmowanie logarytmów o tej samej podstawie zamieniamy na logarytm ilorazu:

$\log_2 24 - \log_2 3 = \log_2 \dfrac{24}{3} = \log_2 8 = 3$, bo $2^3 = 8$.

Odpowiedź: 3. Jeśli liczba pod logarytmem nie jest „ładna”, rozłóż ją na czynniki: $24 = 8\cdot 3$ i $\log_2 24 = \log_2 8 + \log_2 3 = 3 + \log_2 3$. Wynik ten sam, ale drugą drogą rachunków jest więcej.

Zadanie 2. Dwa logarytmy o różnych podstawach

Oblicz $\log_3 81 + \log_{\frac{1}{2}} 8$.

Każdy składnik liczymy z definicji. $\log_3 81 = 4$, bo $3^4 = 81$. Drugi: szukamy wykładnika $c$, dla którego $\left(\tfrac12\right)^c = 8$. Ponieważ $\left(\tfrac12\right)^{-3} = 2^3 = 8$, mamy $c=-3$.

Odpowiedź: $4 + (-3) = 1$. Typowa pułapka: podstawa mniejsza od 1 daje logarytm ujemny dla liczb większych od 1. Warto to sprawdzić szacunkiem, zanim zapiszesz wynik.

Zadanie 3. Równanie logarytmiczne (rozszerzenie)

Rozwiąż równanie $\log_2 (x-1) + \log_2 (x+1) = 3$.

Krok 1: dziedzina. Oba wyrażenia pod logarytmem muszą być dodatnie: $x-1>0$ i $x+1>0$, czyli $x>1$. Zapisz to od razu, na początku rozwiązania.

Krok 2: łączymy logarytmy. $\log_2\big((x-1)(x+1)\big) = 3$, więc $x^2-1 = 2^3 = 8$.

Krok 3: rozwiązujemy. $x^2 = 9$, więc $x=3$ lub $x=-3$. Z dziedziny $x>1$ odpada $x=-3$.

Odpowiedź: $x=3$. Sprawdzenie: $\log_2 2 + \log_2 4 = 1 + 2 = 3$. Egzaminator może zdjąć punkt za brak dziedziny i za nieodrzucenie $-3$, więc to nie jest formalność.

Zadanie 4. Nierówność z podstawą mniejszą od 1

Rozwiąż nierówność $\log_{\frac12}(x-2) > -1$.

Dziedzina: $x-2>0$, czyli $x>2$.

Zapisujemy $-1$ jako logarytm przy tej samej podstawie: $-1 = \log_{\frac12} 2$, bo $\left(\tfrac12\right)^{-1}=2$. Funkcja $\log_{\frac12}$ jest malejąca, więc przy opuszczaniu logarytmów odwracamy znak nierówności:

$x-2 < 2 \Rightarrow x<4$.

Odpowiedź: $x\in(2,4)$. Sprawdzenie: $x=3$ daje $\log_{\frac12}1=0>-1$, a $x=5$ daje $\log_{\frac12}3\approx -1{,}58<-1$, czyli nie spełnia nierówności. Jeśli podstawa jest większa od 1, znak zostaje, jeśli mniejsza od 1 (ale dodatnia), odwracasz.

Gdzie uciekają punkty

• Brak dziedziny. Równanie z logarytmami bez warunków na argumenty to rozwiązanie niepełne.
• $\log(x+y)$ rozbijane na $\log x + \log y$. Wzór dotyczy iloczynu, nie sumy.
• Zła podstawa po przekształceniu. Przy zmianie podstawy licznik i mianownik muszą być w tej samej nowej podstawie.
• Nierówność bez odwrócenia znaku przy podstawie z przedziału $(0,1)$.
• Wynik „na kalkulatorze”. Na maturze masz kalkulator prosty bez funkcji log, więc takie zadania liczysz ręcznie, z definicji i wzorów. Szczegóły w tekście jaki kalkulator na maturę z matematyki.

Jak to ćwiczyć

Zacznij od dziesięciu wartości wyrażeń z definicji, potem przejdź do równań, a nierówności zostaw na koniec. Za każdym razem pisz dziedzinę jako pierwszą linijkę. Gotowe typy zadań i ich punktację znajdziesz w arkuszach CKE z naszym opisem, a pozostałe działy w przewodniku po maturze z matematyki.