Ile punktów można zdobyć na maturze rozszerzonej z matematyki?

W formule 2023/2027 na maturze rozszerzonej z matematyki można zdobyć maksymalnie 50 punktów. Egzamin trwa 180 minut i nie ma ustalonego minimalnego progu zdawalności 30%.

Jakie są najtrudniejsze i najlepiej punktowane zadania na rozszerzeniu?

Najwyżej punktowane są zadania otwarte: Zadanie z parametrem (4-5 pkt), Zadanie optymalizacyjne z rachunkiem różniczkowym (4-6 pkt), Dowody geometryczne i algebraiczne (3-4 pkt) oraz Geometria analityczna z okręgami (4-5 pkt).

Matura Rozszerzona 2027 · Baza Zadań i Rozwiązań CKE (50 pkt)

Arkusze Matury Rozszerzonej z Matematyki: Analiza Egzaminu CKE

Mapa realnych arkuszy CKE (2023–2026) z linkami do oryginałów oraz autorskie zadania Cognito na tych samych schematach. Precyzyjne schematy dowodowe, wyznaczanie dziedziny i warunków w zadaniach z parametrem oraz optymalizacja z pochodną funkcji.

📐 Przewodnik po zadaniach z parametrem ✍️ Schematy dowodów matematycznych Umów diagnozę rozszerzenia (60 zł)

Co to jest, a czym nie jest. Nie przedrukowujemy treści zadań CKE — prawa autorskie do arkuszy należą do Centralnej Komisji Egzaminacyjnej, a oryginały są darmowe na cke.gov.pl. Poniżej znajdziesz dwie rzeczy: mapę realnych arkuszy (ile zadań, ile punktów, jak rozłożona jest punktacja — dane z opublikowanych zasad oceniania) oraz autorskie zadania Cognito zbudowane na tych samych schematach, rozwiązane krok po kroku z zaznaczeniem miejsc, w których egzaminatorzy najczęściej odbierają punkty.

Mapa arkuszy CKE — matura rozszerzona z matematyki 2023–2026

Dane odczytane z arkuszy i zasad oceniania opublikowanych przez CKE. Kliknij rok, żeby otworzyć oryginalny PDF.

Arkusz (sesja majowa)	Liczba zadań	Punkty	Czas	Rozkład punktacji
2026 — arkusz PDF (CKE)	12	50	180 min	2·1, 3·3, 4·4, 5·2, 6·1, 7·1 pkt
2025 — arkusz PDF (CKE)	12	50	180 min	2·1, 3·3, 4·3, 5·3, 6·2 pkt
2024 — arkusz PDF (CKE)	—	50	180 min	same zadania otwarte (10–14 wg Informatora)
2023 — arkusz PDF (CKE)	—	50	180 min	same zadania otwarte

Na rozszerzeniu nie ma zadań zamkniętych — cały arkusz to 10–14 zadań otwartych, w których liczy się kompletność zapisu: dziedzina, warunki, uzasadnienie ekstremum. Dlatego poniżej pokazujemy pełne rozwiązania autorskich zadań Cognito zbudowanych na schematach z danego rocznika.

Autorskie zadania Cognito w schematach arkuszy CKE

Zadania autorskie Cognito · schemat arkusza 2026

Schematy zadań w stylu arkusza 2026 — zadanie z parametrem

50 punktów · 180 minut

Zadanie: Równanie z parametrem

m

i warunkiem

\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} \ge 2

(5 pkt) Typ powtarzalny

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których równanie $x^2 - 2(m-1)x + m^2 - 4 = 0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_1, x_2$ spełniające warunek $\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} \ge 2$ .

Krok 1: Układ warunków koniecznych
1)

a \ne 0 \implies 1 \ne 0

(spełnione tożsamościowo)
2)

\Delta > 0 \implies [-2(m-1)]^2 - 4(1)(m^2 - 4) > 0 \implies 4(m^2 - 2m + 1) - 4m^2 + 16 > 0 \implies -8m + 20 > 0 \implies m < 2.5

x_1 \cdot x_2 \ne 0 \implies m^2 - 4 \ne 0 \implies m \ne 2 \land m \ne -2

Krok 2: Przekształcenie warunku ze wzorami Viète'a

\frac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1 x_2)^2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2}{(x_1 x_2)^2} \ge 2

Podstawiając

x_1 + x_2 = 2(m-1)

oraz

x_1 x_2 = m^2 - 4

, otrzymujemy nierówność wymierną po sprowadzeniu do wspólnego mianownika.

Tu traci się punkty: Pamiętaj o warunku

x_1 x_2 \neq 0

, który wynika z obecności zmiennych w mianowniku! Pominięcie

m \neq 2

m \neq -2

odbiera 1 punkt za warunki brzegowe.

Zadanie: Optymalizacja z pochodną — bryła wpisana (6 pkt)

W stożek o promieniu podstawy $R = 6$ i wysokości $H = 12$ wpisano walec, którego podstawa leży na podstawie stożka. Wyznacz promień walca $r$ , dla którego pole powierzchni bocznej walca jest największe.

Krok 1: Zależność liniowa z podobieństwa trójkątów

\frac{H - h}{r} = \frac{H}{R} \implies \frac{12 - h}{r} = \frac{12}{6} = 2 \implies 12 - h = 2r \implies h = 12 - 2r

.
Dziedzina geometryczna:

r \in (0, 6)

Krok 2: Funkcja pola bocznego $P_b(r)$ i pochodna

P_b(r) = 2\pi r h = 2\pi r(12 - 2r) = 2\pi (12r - 2r^2) = 4\pi (6r - r^2)

P_b'(r) = 4\pi (6 - 2r)

. Przyrównujemy do zera:

6 - 2r = 0 \implies r = 3

.
Pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny w punkcie

r = 3

, co potwierdza maksimum lokalne.
Odpowiedź: Promień walca zapewniający największe pole boczne wynosi

r = 3

Zadania autorskie Cognito · schemat arkusza 2025

Schematy zadań w stylu arkusza 2025 — równanie trygonometryczne i dowód

50 punktów · 180 minut

Zadanie: Równanie trygonometryczne (4 pkt)

Rozwiąż równanie: $\sin 2x + \sqrt{3}\cos x = 0$ w przedziale $x \in [0, 2\pi]$ .

Krok 1: Zastosowanie wzoru na sinus podwojonego kąta

2\sin x \cos x + \sqrt{3}\cos x = 0 \implies \cos x (2\sin x + \sqrt{3}) = 0

Krok 2: Wyznaczenie rozwiązań w zadanym przedziale $[0, 2\pi]$
Przypadek 1:

\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2}

lub

x = \frac{3\pi}{2}

.
Przypadek 2:

2\sin x + \sqrt{3} = 0 \implies \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \implies x = \frac{4\pi}{3}

lub

x = \frac{5\pi}{3}

.
Odpowiedź:

x \in \left\{\frac{\pi}{2}, \frac{4\pi}{3}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{3}\right\}

Zadania autorskie Cognito · schemat arkusza 2024

Schematy zadań w stylu arkusza 2024 — zadanie z parametrem (5 pkt)

50 punktów · 180 minut

Zadanie: Równanie kwadratowe z parametrem (5 pkt) Pewniak Rozszerzenia

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których równanie $x^2 - (m+2)x + m^2 - 1 = 0$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1, x_2$ spełniające warunek: $x_1^3 + x_2^3 > 0$ .

Krok 1: Wzór skróconego mnożenia na sumę sześcianów

x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2) = (x_1 + x_2)[(x_1 + x_2)^2 - 3x_1 x_2] > 0

Krok 2: Wzory Viète'a i wyznaczenie części wspólnej z $\Delta > 0$
Podstawiając

x_1 + x_2 = m+2

x_1 x_2 = m^2 - 1

, wyznaczamy część wspólną przedziałów z warunku delty.

Chcesz opanować schematy rozszerzenia do perfekcji?

Zobacz nasze specjalistyczne opracowania CKE dla maturzystów:

📐 Zadania z parametrem CKE ✍️ Dowody algebraiczne i geometryczne 🎯 Kurs maturalny rozszerzony

Diagnoza Matury Rozszerzonej

Przetestuj swoje umiejętności na arkuszu rozszerzonym CKE

60 minut indywidualnej pracy z tutorem rozszerzenia za 60 zł. Zweryfikujemy poprawność zapisu dowodów i zoptymalizujemy Twój czas pracy z arkuszem.

Umów diagnozę rozszerzenia (60 zł)

Płatność po lekcji • Elastyczny grafik • Nauczyciele z topowych uczelni