Zadania na dowodzenie to tradycyjnie obszar, w którym maturzyści tracą najwięcej punktów nie ze względu na brak wiedzy matematycznej, lecz przez błędy formalne, niepełny zapis logiczny lub dowodzenie od tezy. W Formule 2023/2027 CKE precyzyjnie ocenia każdy etap rozumowania.

W tym przewodniku omawiamy 3 filary dowodów maturalnych:

  • Filar 1: Dowody algebraiczne (zwijanie do sumy kwadratów (a−b)2≥0(a-b)^2 \ge 0).
  • Filar 2: Dowody podzielności liczb całkowitych (rozkład na iloczyn kolejnych liczb).
  • Filar 3: Dowody geometryczne (kąty w okręgu, podobieństwo trójkątów, pola figur).

1. Dowody algebraiczne: Technika zwijania do kwadratów

Znakomita większość nierówności algebraicznych na poziomie rozszerzonym opiera się na tożsamości, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x∈Rx \in \mathbb{R} zachodzi x2≥0x^2 \ge 0.

Przykład CKE: Nierówność z trzema zmiennymi (3 pkt)

Polecenie: Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a,b,ca, b, c spełniona jest nierówność:

a2+b2+c2≥ab+bc+caa^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca

Krok 1: Przeniesienie wszystkich wyrazów na lewą stronę
a2+b2+c2−ab−bc−ca≥0a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca \ge 0
Krok 2: Mnożenie obustronne przez 2 (kluczowy trik CKE)
2a2+2b2+2c2−2ab−2bc−2ca≥02a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca \ge 0
Krok 3: Pogrupowanie w 3 kwadraty różnicy
(a2−2ab+b2)+(b2−2bc+c2)+(c2−2ca+a2)≥0(a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ca + a^2) \ge 0
(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2≥0(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \ge 0
Wymagany komentarz logiczny CKE:
Ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny: (a−b)2≥0(a-b)^2 \ge 0, (b−c)2≥0(b-c)^2 \ge 0, (c−a)2≥0(c-a)^2 \ge 0, to ich suma jest również liczbą nieujemną. Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}, co kończy dowód.

2. Dowody podzielności: Iloczyn kolejnych liczb całkowitych

W zadaniach dotyczących podzielności kluczem jest wyłączenie wspólnego czynnika i rozłożenie wyrażenia na iloczyn kolejnych liczb naturalnych lub całkowitych.

Przykład CKE: Podzielność przez 6 (3 pkt)

Polecenie: Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nn liczba W=n3−nW = n^3 - n jest podzielna przez 6.

Krok 1: Rozkład wyrażenia na czynniki
W=n(n2−1)=n(n−1)(n+1)=(n−1)⋅n⋅(n+1)W = n(n^2 - 1) = n(n - 1)(n + 1) = (n - 1) \cdot n \cdot (n + 1)
Krok 2: Własności iloczynu trzech kolejnych liczb całkowitych
Liczby (n−1),n,(n+1)(n - 1), n, (n + 1) to 3 kolejne liczby całkowite.
  • Wśród trzech kolejnych liczb całkowitych co najmniej jedna jest podzielna przez 2.
  • Wśród trzech kolejnych liczb całkowitych dokładnie jedna jest podzielna przez 3.
Ponieważ liczby 2 i 3 są względnie pierwsze (NWD(2,3)=1\text{NWD}(2,3)=1), iloczyn tych liczb jest podzielny przez 2⋅3=62 \cdot 3 = 6.
Wniosek: Liczba WW dzieli się przez 6 dla każdego n∈Zn \in \mathbb{Z}. (c.n.d.)

3. Dowody geometryczne: Najczęstsze twierdzenia

W planimetrii na maturze rozszerzonej egzaminatorzy w 80% przypadków opierają dowody na jednym z poniższych twierdzeń:

  1. Kąty w okręgu: Kąt wpisany i środkowy oparte na tym samym łuku (β=2α\beta = 2\alpha), kąt dopisany.
  2. Cechy podobieństwa trójkątów: Cecha kąt-kąt-kąt (kkk) najczęściej dowodzona z kątów wierzchołkowych lub naprzemianległych.
  3. Twierdzenie o dwusiecznej kąta: Dwusieczna dzieli przeciwległy bok w stosunku ab=xy\frac{a}{b} = \frac{x}{y}.
  4. Twierdzenie sinusów i cosinusów: Używane do wiązania długości boków z promieniami okręgów (R=a2sin⁡αR = \frac{a}{2\sin \alpha}).
⚠️ Krytyczna uwaga CKE: Rysunek jest jedynie szkicem pomocniczym. Nie wolno wnioskować własności (np. prostopadłości czy równości boków) „z rysunku” bez podania właściwego twierdzenia matematycznego!

Zobacz powiązane materiały do matury rozszerzonej: