Geometria analityczna na maturze: prosta, okrąg i odległość punktu od prostej

Co CKE sprawdza z geometrii analitycznej

Z Informatora CKE: na poziomie podstawowym zdający posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie (w postaci kierunkowej i ogólnej), równaniem okręgu $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ i wyznacza obrazy figur w symetriach osiowych względem osi układu. Poziom rozszerzony dodaje równanie okręgu w postaci ogólnej oraz wektory (współrzędne, długość, dodawanie).

Wzory z karty CKE

• długość odcinka: $|AB| = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$,
• środek odcinka: $S=\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$,
• prosta kierunkowa $y=ax+b$ (gdzie $a=\operatorname{tg}\alpha$) i przez punkt: $y=a(x-x_0)+y_0$,
• prosta ogólna $Ax+By+C=0$,
• równoległość: $a_1=a_2$, prostopadłość: $a_1\cdot a_2=-1$ (dla postaci ogólnej: $A_1A_2+B_1B_2=0$),
• odległość punktu $P(x_0,y_0)$ od prostej: $d=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$,
• okrąg: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$.

Zadanie 1. Prosta przez dwa punkty i prostopadła

Dane są punkty $A=(1,2)$ i $B=(4,8)$. Wyznacz równanie prostej $AB$ oraz prostej prostopadłej do niej, przechodzącej przez punkt $C=(0,5)$.

Współczynnik kierunkowy prostej $AB$: $a=\dfrac{8-2}{4-1}=2$. Z postaci $y-2=2(x-1)$ dostajemy $y=2x$.

Prostopadła ma współczynnik $a_2$ spełniający $2\cdot a_2=-1$, czyli $a_2=-\dfrac12$. Przechodzi przez $C=(0,5)$, więc wyraz wolny to 5.

Odpowiedź: $AB: y=2x$, prostopadła: $y=-\dfrac12 x+5$. Częsty błąd: wzięcie $a_2=-2$ (czyli przeciwnej liczby) zamiast odwrotności ze zmianą znaku.

Zadanie 2. Środek i długość odcinka

Odcinek $AB$ ma końce $A=(-2,3)$ i $B=(4,-5)$. Wyznacz jego środek i długość.

Środek: $S=\left(\dfrac{-2+4}{2},\dfrac{3+(-5)}{2}\right)=(1,-1)$. Długość: $|AB|=\sqrt{(4-(-2))^2+(-5-3)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$.

Odpowiedź: $S=(1,-1)$, $|AB|=10$. Uwaga na minusy w różnicach: $4-(-2)=6$, a nie 2.

Zadanie 3. Okrąg styczny do prostej

Wyznacz równanie okręgu o środku $S=(1,2)$, stycznego do prostej $k:\ 3x+4y-5=0$.

Promień to odległość środka od prostej (styczność = jeden punkt wspólny = promień równy odległości):

$r=\dfrac{|3\cdot1+4\cdot2-5|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\dfrac{6}{5}$.

Odpowiedź: $(x-1)^2+(y-2)^2=\dfrac{36}{25}$. Najczęściej gubi się kwadrat: do równania wpisujemy $r^2$, nie $r$.

Zadanie 4. Punkty wspólne prostej i okręgu

Wyznacz punkty wspólne prostej $y=x+1$ i okręgu $x^2+y^2=25$.

Podstawiamy $y=x+1$: $x^2+(x+1)^2=25$, czyli $2x^2+2x-24=0$, a po podzieleniu przez 2: $x^2+x-12=0$. Mamy $\Delta=1+48=49$, $x=\dfrac{-1\pm7}{2}$, czyli $x=3$ lub $x=-4$.

Dla $x=3$: $y=4$. Dla $x=-4$: $y=-3$.

Odpowiedź: $(3,4)$ i $(-4,-3)$. Sprawdzenie: $9+16=25$ i $16+9=25$. Liczba rozwiązań równania kwadratowego mówi, czy prosta jest sieczna (dwa punkty), styczna (jeden) czy omija okrąg (zero).

Gdzie uciekają punkty

• Znak w równaniu okręgu. Równanie $(x+3)^2+(y-1)^2=4$ ma środek $(-3,1)$, nie $(3,-1)$.
• Prostopadłość. Iloczyn współczynników ma być równy $-1$. Sama zmiana znaku to za mało.
• Brak szkicu. Prosty rysunek układu współrzędnych wyłapuje błędy z odległościami i znakami, zanim wpiszesz je do rachunków.
• Zaokrąglanie pierwiastków w trakcie rachunków. Zostaw $\sqrt{\ }$ do końca. Kalkulator prosty pomoże tylko na samym końcu.

Więcej typów zadań w pełnych arkuszach: mapa arkuszy matury podstawowej i rozszerzonej. Cały zakres: przewodnik po maturze z matematyki.