Ciągi na maturze z matematyki: arytmetyczny, geometryczny i pułapki

Co CKE sprawdza z ciągów

Na poziomie podstawowym wymagania z Informatora obejmują m.in. obliczanie wyrazów ciągu zadanego wzorem ogólnym i rekurencyjnie, sprawdzanie, czy ciąg jest arytmetyczny albo geometryczny, badanie monotoniczności w prostych przypadkach oraz wykorzystanie własności ciągów arytmetycznego i geometrycznego do rozwiązywania zadań. Na poziomie rozszerzonym dochodzą granice ciągów i szeregi geometryczne.

Wzory z karty CKE

W dziale „Ciągi” oficjalnej karty znajdziesz:

• ciąg arytmetyczny: $a_n = a_1 + (n-1)r$ oraz $S_n = \dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n = \dfrac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n$,
• warunek na sąsiednie wyrazy: $a_n = \dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$,
• ciąg geometryczny: $a_n = a_1\cdot q^{n-1}$ oraz $S_n = a_1\cdot\dfrac{1-q^n}{1-q}$ dla $q\neq 1$,
• warunek na sąsiednie wyrazy: $(a_n)^2 = a_{n-1}\cdot a_{n+1}$,
• suma nieskończonego ciągu geometrycznego: $S = \dfrac{a_1}{1-q}$ dla $|q|<1$ (materiał z zakresu rozszerzonego).

Algorytm na każde zadanie z ciągiem

1. Ustal, jaki to ciąg: stała różnica ($a_{n+1}-a_n$) albo stały iloraz ($a_{n+1}:a_n$).
2. Zapisz dane przez $a_1$ i $r$ (lub $q$): „$a_5=11$” to $a_1+4r=11$.
3. Rozwiąż układ równań. Przy ciągu geometrycznym najczęściej odejmujesz indeksy: dzielisz jedno równanie przez drugie.
4. Policz to, o co pytają, i sprawdź warunki zadania (rosnący, całkowite wyrazy, dodatnie).

Zadanie 1. Ciąg arytmetyczny i suma

W ciągu arytmetycznym $a_2=5$ oraz $a_6=17$. Oblicz sumę piętnastu pierwszych wyrazów.

Odejmujemy równania $a_6-a_2 = 4r$: $17-5=4r$, więc $r=3$. Z $a_2=a_1+r$ mamy $a_1 = 5-3 = 2$.

Wyraz piętnasty: $a_{15} = 2 + 14\cdot 3 = 44$. Suma: $S_{15} = \dfrac{2+44}{2}\cdot 15 = 23\cdot15 = 345$.

Odpowiedź: $S_{15}=345$. Wystarczy jeden wzór na sumę, ale najpierw trzeba dobrze wyznaczyć $a_1$ i $r$. Najczęściej błąd robi się właśnie w indeksie, na przykład $a_1 = a_2 - 2r$ zamiast $a_2 - r$.

Zadanie 2. Trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego

Liczby $x+1$, $3x-1$, $4x$ (w tej kolejności) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wyznacz $x$ i wypisz te liczby.

Środkowy wyraz jest średnią sąsiednich: $3x-1 = \dfrac{(x+1)+4x}{2}$. Mnożymy przez 2: $6x-2 = 5x+1$, więc $x=3$.

Odpowiedź: $x=3$, a liczby to 4, 8, 12 (różnica 4). Ten warunek jest na karcie i oszczędza układ równań. Przy ciągu geometrycznym analogiczny jest warunek $(a_n)^2=a_{n-1}a_{n+1}$.

Zadanie 3. Ciąg geometryczny i dwa możliwe ilorazy

W ciągu geometrycznym $a_2=6$ oraz $a_5=162$. Wyznacz pierwszy wyraz i sumę sześciu pierwszych wyrazów.

Dzielimy: $\dfrac{a_5}{a_2} = q^3 = \dfrac{162}{6}=27$, więc $q=3$. Wtedy $a_1 = \dfrac{a_2}{q} = 2$.

$S_6 = 2\cdot\dfrac{3^6-1}{3-1} = 2\cdot\dfrac{728}{2}=728$.

Odpowiedź: $a_1=2$, $S_6=728$. Uwaga na pułapkę z parzystym wykładnikiem: gdyby było $a_2=6$ i $a_4=54$, to $q^2=9$, czyli $q=3$ lub $q=-3$. Dostajesz wtedy dwa ciągi ($a_1=2$ albo $a_1=-2$) i musisz je rozpatrzyć oba, chyba że treść zadania coś wyklucza, na przykład „ciąg rosnący”.

Zadanie 4. Suma nieskończonego ciągu geometrycznego (rozszerzenie)

Rozwiąż równanie $1 + x + x^2 + x^3 + \dots = 3$, gdzie lewa strona jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego.

Pierwszy wyraz to 1, iloraz to $x$. Suma istnieje, gdy $|x|<1$, i wynosi $\dfrac{1}{1-x}$. Z równania $\dfrac{1}{1-x}=3$ mamy $1-x=\dfrac13$, czyli $x=\dfrac23$.

Odpowiedź: $x=\dfrac23$. Warunek $|x|<1$ jest spełniony. Zapisz go: bez niego rozwiązanie jest niepełne.

Najczęstsze błędy

• Pomylenie $a_n$ z $S_n$ i wstawienie $n$ w niewłaściwe miejsce wzoru.
• Przesunięcie indeksu: $a_n = a_1 + nr$ zamiast $a_1+(n-1)r$.
• Pominięcie ujemnego ilorazu przy parzystych potęgach.
• Użycie wzoru na sumę szeregu bez sprawdzenia $|q|<1$.
• Rachunki „w głowie” zamiast zapisu: w zadaniu otwartym egzaminator ocenia tok, nie wynik.

Podobne zadania w pełnym arkuszu znajdziesz w mapie arkuszy CKE, a pozostałe działy w przewodniku po maturze z matematyki.