Trygonometria na maturze z matematyki: wzory, zadania i pułapki

Co CKE sprawdza z trygonometrii

Według Informatora poziom podstawowy wymaga m.in. wykorzystania definicji sinusa, cosinusa i tangensa dla kątów od 0° do 180°, korzystania ze wzorów $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ i $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, rozwiązywania trójkątów prostokątnych oraz zastosowania twierdzenia cosinusów. Poziom rozszerzony dodaje twierdzenie sinusów i rozwiązywanie równań oraz nierówności trygonometrycznych.

Co jest na karcie CKE

• definicje funkcji w trójkącie prostokątnym i dla dowolnego kąta,
• wykresy sinusa, cosinusa i tangensa,
• $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ oraz $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$,
• tabelka wartości dla 0°, 30°, 45°, 60°, 90°,
• wzory na sumę i różnicę kątów, na kąt podwojony i wzory redukcyjne,
• dodatkowo tablica wartości funkcji trygonometrycznych na ostatniej stronie karty: sinus, cosinus i tangens dla kolejnych stopni, z dokładnością do czterech miejsc po przecinku.

Ponieważ na egzaminie nie ma kalkulatora naukowego (piszemy o tym osobno), zadania z trygonometrii liczysz z karty i z wartości, które znasz na pamięć.

Zadanie 1. Trójkąt prostokątny

W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 13, a kąt ostry $\alpha$ spełnia $\cos\alpha=\dfrac{5}{13}$. Oblicz $\sin\alpha$ i $\operatorname{tg}\alpha$.

Z jedynki trygonometrycznej: $\sin^2\alpha = 1-\left(\dfrac{5}{13}\right)^2 = \dfrac{144}{169}$, więc $\sin\alpha = \dfrac{12}{13}$ (kąt ostry, więc wartość dodatnia). Wtedy $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{12/13}{5/13}=\dfrac{12}{5}$.

Odpowiedź: $\sin\alpha=\dfrac{12}{13}$, $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{12}{5}$. To trójkąt o bokach 5, 12, 13, więc wynik można sprawdzić twierdzeniem Pitagorasa. Zawsze zaznacz, że $\sin\alpha>0$, bo kąt jest ostry.

Zadanie 2. Jedynka trygonometryczna i wartość wyrażenia

Kąt ostry $\alpha$ spełnia $\sin\alpha=\dfrac35$. Oblicz $\sin\alpha\cdot\cos\alpha$.

$\cos^2\alpha=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}$, więc $\cos\alpha=\dfrac45$ (kąt ostry). Zatem $\sin\alpha\cos\alpha=\dfrac35\cdot\dfrac45=\dfrac{12}{25}$.

Odpowiedź: $\dfrac{12}{25}$. Gdyby kąt nie był ostry, trzeba by rozważyć dwa znaki cosinusa. Treść zadania mówi, które.

Zadanie 3. Twierdzenie cosinusów

Dwa boki trójkąta mają długości 7 i 8, a kąt między nimi ma miarę 60°. Oblicz długość trzeciego boku.

Z twierdzenia cosinusów: $c^2=7^2+8^2-2\cdot7\cdot8\cdot\cos60^\circ = 49+64-112\cdot\dfrac12=57$.

Odpowiedź: $c=\sqrt{57}$. Wartość $\cos60^\circ=\dfrac12$ bierzesz z tabelki na karcie. Najczęstszy błąd: zapomnienie o minusie przed podwojonym iloczynem lub podstawienie kąta, który nie leży między tymi bokami.

Zadanie 4. Równanie trygonometryczne (rozszerzenie)

Rozwiąż równanie $\sin 2x=\cos x$ w przedziale $\langle0,2\pi)$.

Ze wzoru na kąt podwojony $\sin2x=2\sin x\cos x$, więc $2\sin x\cos x-\cos x=0$, czyli $\cos x\,(2\sin x-1)=0$.

Pierwszy czynnik: $\cos x=0$, czyli $x=\dfrac{\pi}{2}$ lub $x=\dfrac{3\pi}{2}$. Drugi czynnik: $\sin x=\dfrac12$, czyli $x=\dfrac{\pi}{6}$ lub $x=\dfrac{5\pi}{6}$.

Odpowiedź: $x\in\left\{\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{2},\dfrac{5\pi}{6},\dfrac{3\pi}{2}\right\}$. Pułapka: gdybyś podzielił obie strony przez $\cos x$, zgubiłbyś dwa rozwiązania ($\dfrac\pi2$ i $\dfrac{3\pi}2$). Zawsze wyłączaj wspólny czynnik, zamiast dzielić.

Gdzie uciekają punkty

• Pomylenie stopni z radianami przy równaniach, więc odpowiedź w złym przedziale.
• Dzielenie przez wyrażenie, które może być zerem.
• Pominięcie znaku funkcji w danej ćwiartce.
• Brak odwołania do wartości z tabelki, co utrudnia egzaminatorowi sprawdzenie toku rozumowania.

Planimetria i trygonometria często występują razem w jednym zadaniu o trójkącie. Przykłady z całych arkuszy: arkusze matury rozszerzonej. Cały zakres: przewodnik po maturze z matematyki.