Prawdopodobieństwo i kombinatoryka na maturze z matematyki

Co CKE sprawdza

Poziom podstawowy z Informatora: zdający zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych, stosuje reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) oraz oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym. Poziom rozszerzony dodaje liczenie z użyciem wzorów na permutacje, kombinacje i wariacje, współczynnik dwumianowy, schemat Bernoulliego oraz wzór Bayesa.

Wzory z karty CKE

• model klasyczny: $P(A)=\dfrac{|A|}{|\Omega|}$,
• zdarzenie przeciwne: $P(A')=1-P(A)$,
• suma zdarzeń: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$,
• permutacje: $n!$, kombinacje: $\binom{n}{k}$, wariacje z powtórzeniami: $n^k$, wariacje bez powtórzeń: $\dfrac{n!}{(n-k)!}$,
• schemat Bernoulliego: $P_n(k)=\binom nk p^kq^{n-k}$.

Zadanie 1. Dwie kostki

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek jest równa 8, oraz że iloczyn oczek jest parzysty.

Zbiór wyników: $|\Omega|=6\cdot6=36$ (pary uporządkowane). Suma 8: $(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)$, czyli 5 wyników, więc $P=\dfrac{5}{36}$.

Iloczyn parzysty łatwiej policzyć przez zdarzenie przeciwne: iloczyn jest nieparzysty tylko wtedy, gdy oba wyniki są nieparzyste, czyli $3\cdot3=9$ par. Stąd $P=1-\dfrac{9}{36}=\dfrac34$.

Odpowiedź: $\dfrac5{36}$ oraz $\dfrac34$. Wskazówka: przy sformułowaniach „co najmniej” i „przynajmniej jeden” prawie zawsze opłaca się zdarzenie przeciwne.

Zadanie 2. Losowanie bez zwracania

W urnie jest 4 kule białe i 6 czarnych. Losujemy dwie kule bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że obie są białe.

Pierwszy sposób (kolejność): $\dfrac{4}{10}\cdot\dfrac{3}{9}=\dfrac{12}{90}=\dfrac{2}{15}$.

Drugi sposób (kombinacje): $\dfrac{\binom42}{\binom{10}{2}}=\dfrac{6}{45}=\dfrac{2}{15}$.

Odpowiedź: $\dfrac2{15}$. Oba rozwiązania są poprawne, ale w jednym zadaniu nie mieszaj modeli: jeśli w $|\Omega|$ liczysz pary uporządkowane, to w $|A|$ też.

Zadanie 3. Reguła mnożenia

Ile jest liczb czterocyfrowych parzystych o wszystkich cyfrach różnych?

Rozbijamy na dwa przypadki według ostatniej cyfry, bo zero na początku jest zabronione.

• Ostatnia cyfra 0: pozostałe trzy cyfry to dowolne różne cyfry spośród 1–9: $9\cdot8\cdot7=504$.
• Ostatnia cyfra 2, 4, 6 lub 8 (4 możliwości): pierwsza cyfra nie może być 0 ani ostatnią (8 możliwości), druga: 8 pozostałych, trzecia: 7. Razem $4\cdot8\cdot8\cdot7=1792$.

Odpowiedź: $504+1792=2296$. Schemat „zacznij od ograniczenia” (tu: ostatnia cyfra parzysta, pierwsza niezerowa) to najpewniejsza strategia w zadaniach z liczbami.

Zadanie 4. Schemat Bernoulliego (rozszerzenie)

Symetryczną monetą rzucamy 6 razy. Oblicz prawdopodobieństwo, że orzeł wypadnie dokładnie dwa razy.

To 6 niezależnych prób z $p=q=\dfrac12$. Z wzoru: $P_6(2)=\binom62\left(\dfrac12\right)^2\left(\dfrac12\right)^4=\dfrac{15}{64}$.

Odpowiedź: $\dfrac{15}{64}$. Ten sam wynik daje model klasyczny: $\dfrac{\binom62}{2^6}=\dfrac{15}{64}$. Schemat Bernoulliego ma sens przy niesymetrycznych próbach, np. $p=0{,}3$, gdzie klasycznego modelu użyć nie można.

Gdzie uciekają punkty

• Niejasne $\Omega$: zapisz, czy liczysz pary uporządkowane, czy zbiory.
• Zwracanie albo niezwracanie wylosowanych elementów: czytaj treść dwa razy.
• Pominięcie przypadków (zadanie 3: zero na końcu).
• Wynik większy od 1 lub ujemny. Prawdopodobieństwo zawsze leży w przedziale od 0 do 1: ten szybki test wyłapuje błędy rachunkowe.

Przykłady takich zadań w całych arkuszach: mapa arkuszy CKE. Cały zakres: przewodnik po maturze z matematyki.